Hiszpański lewoskrzydłowy przez dwa ostatnie sezony grał na wypożyczeniach - odpowiednio w Espanyolu i Sportingu Gijon - rozgrywając w tym czasie 59 meczów w LaLiga. W trakcie swojej kariery 23-latek nie wystąpił w ani jednym spotkaniu pierwszej drużyny Realu Madryt.

Królewscy początkowo otrzymali propozycję rocznego wypożyczenia Burguia - Deportivo Alaves nie było skłonne płacić wymaganej przez zawodnika pensji. Ostatecznie 23-latek zgodził się na obniżkę wynagrodzenia i zasilił drużynę z Estadio Mendizorroza na zasadzie transferu definitywnego.

Burgui jest siódmym letnim wzmocnieniem Deportivo Alaves. Wcześniej w zespole z Kraju Basków zameldowali się Ruben Sobrino, Ruben Duarte, Enzo Zidane (również z Realu Madryt), Ermedin Demirovic, Juanan Entrena i Antonio Cristian.